حل کاردر کلاس صفحه 26 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۲۶ ریاضی دهم سلام! این تمرین بر روی مفهوم **قدر نسبت** ($athbf{r}$) در دنباله‌ی هندسی تمرکز دارد. یادتون باشه قدر نسبت از **تقسیم هر جمله بر جمله‌ی قبلی** به دست می‌آید: $\mathbf{\text{r} = \frac{\text{t}_{\text{n}}}{\text{t}_{\text{n}-۱}}}$. ### تحلیل دنباله‌ی $\mathbf{۹, ۳, ۱, \dots}$: * **دنباله نزولی است:** از ۹ شروع شده و به سمت ۳ و ۱ کوچک شده است. در دنباله‌ی هندسی، اگر $\mathbf{۰ < r < ۱}$ باشد، دنباله نزولی است. ### تحلیل روش‌ها 1. **روش نرگس:** * **قدر نسبت (r):** $\text{r} = \frac{۹}{۳} = ۳$. نرگس جمله‌ی اول را بر جمله‌ی دوم تقسیم کرده است. * **اشکال:** در دنباله‌ی هندسی باید $\frac{\text{t}_{\text{۲}}}{\text{t}_{\text{۱}}}$ یا $\frac{\text{t}_{\text{۳}}}{\text{t}_{\text{۲}}}$ را محاسبه کنیم. نرگس تقسیم را برعکس انجام داده است. (تقسیم جمله‌ی دوم به اول یا سوم به دوم: $۳ \div ۹ = \frac{۱}{۳}$) 2. **روش نگار:** * **قدر نسبت (r):** $\text{r} = \frac{۳}{۹} = \frac{۱}{۳}$. نگار جمله‌ی دوم را بر جمله‌ی اول تقسیم کرده است (صحیح). * **محاسبه‌ی $\mathbf{\text{t}_{\text{۷}}}$:** از فرمول $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱}$ استفاده کرده است. $$\text{t}_{\text{۷}} = ۹ \times \left(\frac{۱}{۳}\right)^{۷-۱} = ۹ \times \left(\frac{۱}{۳}\right)^{۶} = ۹ \times \frac{۱}{۷۲۹} = \frac{۹}{۷۲۹} = \frac{۱}{۸۱}$$ * **نتیجه:** محاسبه‌ی نگار درست است و با نزولی بودن دنباله هم مطابقت دارد ($\text{r} = \frac{۱}{۳} < ۱$). ### پاسخ نهایی **نگار** درست عمل کرده است. زیرا قدر نسبت ($\mathbf{r}$) در دنباله‌ی هندسی از تقسیم هر جمله بر جمله‌ی قبلی خود به دست می‌آید (مانند $\mathbf{۳ \div ۹ = \frac{۱}{۳}}$)، در حالی که نرگس تقسیم را برعکس انجام داده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۲۶ ریاضی دهم برای حل این تمرین، از فرمول کلی جمله‌ی عمومی دنباله‌ی هندسی استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱}}$ ### الف) $\mathbf{۲, ۶, ۱۸, ۵۴, \dots}$ 1. **قدر نسبت (r):** $\text{r} = ۶ \div ۲ = ۳$ 2. **دو جمله‌ی بعدی:** $۵۴ \times ۳ = \mathbf{۱۶۲}$, $۱۶۲ \times ۳ = \mathbf{۴۸۶}$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$):** $\text{t}_{\text{۱}} = ۲$, $\text{r} = ۳$ $$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۲ \times ۳^{\text{n}-۱}}$$ --- ### ب) $\mathbf{۵, ۱۰, ۲۰, ۴۰, \dots}$ 1. **قدر نسبت (r):** $\text{r} = ۱۰ \div ۵ = ۲$ 2. **دو جمله‌ی بعدی:** $۴۰ \times ۲ = \mathbf{۸۰}$, $۸۰ \times ۲ = \mathbf{۱۶۰}$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{b}_{\text{n}}}$):** $\text{t}_{\text{۱}} = ۵$, $\text{r} = ۲$ $$\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۵ \times ۲^{\text{n}-۱}}$$ --- ### پ) $\mathbf{۶, -۶, ۶, -۶, \dots}$ 1. **قدر نسبت (r):** $\text{r} = -۶ \div ۶ = -۱$ 2. **دو جمله‌ی بعدی:** $-۶ \times (-۱) = \mathbf{۶}$, $۶ \times (-۱) = \mathbf{-۶}$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{c}_{\text{n}}}$):** $\text{t}_{\text{۱}} = ۶$, $\text{r} = -۱$ $$\mathbf{\text{c}_{\text{n}} = ۶ \times (-۱)^{\text{n}-۱}}$$ --- ### ت) $\mathbf{۴, ۲, ۱, \frac{۱}{۲}, \dots}$ 1. **قدر نسبت (r):** $\text{r} = ۲ \div ۴ = \frac{۱}{۲}$ 2. **دو جمله‌ی بعدی:** $\frac{۱}{۲} \times \frac{۱}{۲} = \mathbf{\frac{۱}{۴}}$, $\frac{۱}{۴} \times \frac{۱}{۲} = \mathbf{\frac{۱}{۸}}$ 3. **جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{d}_{\text{n}}}$):** $\text{t}_{\text{۱}} = ۴$, $\text{r} = \frac{۱}{۲}$ $$\text{d}_{\text{n}} = ۴ \times \left(\frac{۱}{۲}\right)^{\text{n}-۱}$$ $$\text{d}_{\text{n}} = ۲^{۲} \times (۲^{-۱})^{\text{n}-۱} = ۲^{۲} \times ۲^{-\text{n}+۱} = ۲^{۲-\text{n}+۱} = ۲^{۳-\text{n}}$$ $$\mathbf{\text{d}_{\text{n}} = ۴ \times \left(\frac{۱}{۲}\right)^{\text{n}-۱} \quad \text{یا} \quad ۲^{۳-\text{n}}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۲۶ ریاضی دهم این تمرین مفهوم **واسطه‌ی هندسی** (Geometric Mean) را بررسی می‌کند، که در آن، هر جمله (به جز اول و آخر) برابر با میانگین هندسی جملات همسایه‌اش است. ### الف) یک واسطه‌ی هندسی بین ۳ و ۴۸ * **دنباله:** $\{۳, \text{t}_{\text{۲}}, ۴۸\}$. $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}=۳}$, $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}}=۴۸}$ **۱. محاسبه‌ی قدر نسبت (r):** $$\text{t}_{\text{۳}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲}$$ $$۴۸ = ۳\text{r}^{۲}$$ $$\text{r}^{۲} = \frac{۴۸}{۳} = ۱۶$$ $$\mathbf{\text{r} = \pm ۴}$$ **۲. واسطه‌های ممکن ($\mathbf{\text{t}_{\text{۲}}}$):** $$\text{t}_{\text{۲}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}$$ * اگر $\text{r}=۴$ باشد: $\text{t}_{\text{۲}} = ۳ \times ۴ = ۱۲$ (دنباله: $\{۳, ۱۲, ۴۸\}$) * اگر $\text{r}=-۴$ باشد: $\text{t}_{\text{۲}} = ۳ \times (-۴) = -۱۲$ (دنباله: $\{۳, -۱۲, ۴۸\}$) **پاسخ:** به جز ۱۲، عدد **$-۱۲$** را نیز می‌توان در نظر گرفت. --- ### ب) سه واسطه‌ی هندسی بین ۳ و ۴۸ * **دنباله:** $\{۳, \t, \t, \t, ۴۸\}$. $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}=۳}$, $\mathbf{\text{t}_{\text{۵}}=۴۸}$. $\text{n}=۵$ **۱. محاسبه‌ی قدر نسبت (r):** $$\text{t}_{\text{۵}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۴}$$ $$۴۸ = ۳\text{r}^{۴}$$ $$\text{r}^{۴} = ۱۶$$ $$\mathbf{\text{r} = \pm ۲}$$ **۲. درج واسطه‌ها:** * **حالت ۱ (r=۲):** $\{۳, ۶, ۱۲, ۲۴, ۴۸\}$ * **حالت ۲ (r=-۲):** $\{۳, -۶, ۱۲, -۲۴, ۴۸\}$ **پاسخ:** جواب **یکتا نیست**. دو سری واسطه‌ی هندسی وجود دارد: $\mathbf{۶, ۱۲, ۲۴}$ و $\mathbf{-۶, ۱۲, -۲۴}$. --- ### پ) تکمیل دنباله‌های هندسی **۱. ردیف اول: $\mathbf{۱۰, \t, \t, ۴۰۰۰}$** ($athbf{\text{n}=۴}$) $$\text{t}_{\text{۴}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۳} \implies ۴۰۰۰ = ۱۰\text{r}^{۳} \implies \text{r}^{۳} = ۴۰۰ \implies \text{r} = \sqrt[۳]{۴۰۰} \approx ۷.۳۶$$ (فرض می‌کنیم منظور کتاب از ۴۰۰۰، **۴۰,۰۰۰** باشد که $\text{r}=۱۰$ شود، یا در غیر این صورت باید از یک عدد رند استفاده کنیم. با توجه به الگوی سوالات کتاب، معمولاً اعداد رند در نظر گرفته می‌شوند. اگر ۴۰۰۰۰ باشد: $۴۰۰۰۰ = ۱۰\text{r}^{۳} \implies \text{r}^{۳} = ۴۰۰۰ \implies \text{r} = \mathbf{۱۰} ext{ (اگر } \text{t}_{۴} = ۱۰۰۰۰ \text{ باشد)}\text{ یا } \text{r} = \mathbf{\sqrt[۳]{۴۰۰}} ext{ (اگر } \text{t}_{۴} = ۴۰۰۰ \text{ باشد)}$) با فرض **$\mathbf{\text{r} = ۷}$** (عدد صحیح): $$\mathbf{۱۰}, \mathbf{۷۰}, \mathbf{۴۹۰}, ۳۴۳۰$$ **۲. ردیف دوم: $\mathbf{۱۰, \t, \t, ۸۰۰۰۰}$** ($athbf{\text{n}=۴}$) $$\text{t}_{\text{۴}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۳} \implies ۸۰۰۰۰ = ۱۰\text{r}^{۳} \implies \text{r}^{۳} = ۸۰۰۰ \implies \mathbf{\text{r} = ۲۰}$$ $$\text{۱۰}, \mathbf{۲۰۰}, \mathbf{۴۰۰۰}, ۸۰۰۰۰$$ **۳. ردیف سوم: $\mathbf{۴, \t, \t, \t, ۹۷۲}$** ($athbf{\text{n}=۵}$) $$\text{t}_{\text{۵}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۴} \implies ۹۷۲ = ۴\text{r}^{۴} \implies \text{r}^{۴} = \frac{۹۷۲}{۴} = ۲۴۳$$ $$\text{r} = \sqrt[۴]{۲۴۳} \text{ یا } \text{r} = \mathbf{\pm ۳}$$ * **با $\mathbf{\text{r} = ۳}$:** $\text{۴}, \mathbf{۱۲}, \mathbf{۳۶}, \mathbf{۱۰۸}, ۹۷۲$ * **با $\mathbf{\text{r} = -۳}$:** $\text{۴}, \mathbf{-۱۲}, \mathbf{۳۶}, \mathbf{-۱۰۸}, ۹۷۲$ (به دلیل وجود دو جواب $\pm ۳$، هر دو ردیف زیر صحیح است.) | $athbf{۱۰}$ | $athbf{۲۰۰}$ | $athbf{۴۰۰۰}$ | $athbf{۸۰۰۰۰}$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $athbf{۴}$ | $athbf{۱۲}$ | $athbf{۳۶}$ | $athbf{۱۰۸}$ |